Perfect Squares

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判断一个组成一个数所需要的最小数目的平方数

Perfect Squares

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Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, …) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

Tags: Dynamic Programming Breadth-first Search Math
Similar Problems: (E) Count Primes (M) Ugly Number II
错误答案:
首先想到的是贪心法，先找出最接近的平方数，减去这个数，在找出产生的新数中最接近的平方数

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class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        
        int m = sqrt(n);
        int count = 1;
        while(m * m != n){
            count++;
            n = n - m*m;
            m = sqrt(n);
        }
        return count;
    }
};

错误:错误案例12，按照我的解法，答案应该是[9,1,1,1],而正确答案应该是[4,4,4],说明贪心法并不可取

根据提示和上面的方法，想到了dp的方法任意一个数num可以写成
num = m + i*i;

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class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        
        int* dp = new int[n+1];
        fill(dp, dp+n+1, INT_MAX);
        
        dp[0] = 0;
        
        for(int i = 1; i * i <= n; i++)
            dp[i*i] = 1;
        
        for(int m = 1; m <= n; m++)
            for(int i = 1; i * i <= m; i++){
                dp[m] = min(1 + dp[m - i*i], dp[m]);
        }
        
        return dp[n];
    }
};

网上看到的一种解法:四平方和定理(这个方法太猛，时间嗖嗖的)
根据四平方和定理，任意一个正整数均可表示为4个整数的平方和，其实是可以表示为4个以内的平方数之和，那么就是说返回结果只有1,2,3或4其中的一个，首先我们将数字化简一下，由于一个数如果含有因子4，那么我们可以把4都去掉，并不影响结果，比如2和8,3和12等等，返回的结果都相同，读者可自行举更多的例子。还有一个可以化简的地方就是，如果一个数除以8余7的话，那么肯定是由4个完全平方数组成，这里就不证明了，因为我也不会证明，读者可自行举例验证。那么做完两步后，一个很大的数有可能就会变得很小了，大大减少了运算时间，下面我们就来尝试的将其拆为两个平方数之和，如果拆成功了那么就会返回1或2，因为其中一个平方数可能为0. (注：由于输入的n是正整数，所以不存在两个平方数均为0的情况)。注意下面的!!a + !!b这个表达式，可能很多人不太理解这个的意思，其实很简单，感叹号!表示逻辑取反，那么一个正整数逻辑取反为0，再取反为1，所以用两个感叹号!!的作用就是看a和b是否为正整数，都为正整数的话返回2，只有一个是正整数的话返回1，

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class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        //这两种情况下为4
        while (n % 4 == 0) n /= 4;
        if (n % 8 == 7) return 4;
        //为1和2的情况
        for (int a = 0; a * a <= n; ++a) {
            int b = sqrt(n - a * a);
            if (a * a + b * b == n) {
                return !!a + !!b;
            }
        }
        //其余的情况都是3
        return 3;
    }
};

参考文章:http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4800552.html